PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang $0^{\circ}$ sampai dengan $360^{\circ}$ atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sebagai berikut:

1. Sinus

Jika $\sin px = \sin a$ dengan p dan a dalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

Contoh:

$\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}$

$x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B$

$x_2 k \times 120, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B$

k = 0 $\rightarrow x_1$ = 60 atau $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1$ = 180 atau $\rightarrow x_2$ = 120

k = 2 $\rightarrow x_1$ = 300 atau $\rightarrow x_2$ = 240

k = 3 $\rightarrow x_2$ = 360

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

Dalam bentuk radian:

$x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}$

$x_2 = \frac{(\pi - a)}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}$

2. Cosinus

Jika $\cos px = \cos a$ dengan p dan α adalah konstanta, maka:

Dalam bentuk derajat:

$x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

contoh:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$

Sehingga:

$2x - 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

$2x = 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

Diperoleh:

$x_1 = 45^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$x_2 = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$45^{\circ} + k \times 180^{\circ}\cup 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = 45^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x_1 = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 180^{\circ} = 225^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 115^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(156{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}, 225^{\circ})$

3. Tangen

Jika⁡ $\tan px = \tan a$ dengan p dan a adalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}$

contoh:

$\tan(x - 45^{\circ}) = \cot 90^{\circ}, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\tan (x - 45^{\circ}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\tan (x - 45^{\circ} = \tan 30^{\circ})$

Sehingga:

$x - 45^{\circ} = 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 45^{\circ} + 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ} , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(75^{\circ}, 225^{circ})$

Cari Blog Ini

Ahmad Rijal Mubarok